ECUACIONES POLINOMIOS DE GRADO MAYOR QUE DOS

Es una ecuación de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puededescomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

Ejemplos

2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 0

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

Dividimos por Ruffini.

Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6) = 0

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5x − 6≠ 0

P(− 1) = 2 · (− 1)³ + 3 · (− 1)² − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6) = 0

Otra raíz es x = -1.

Los otros factores lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado.

Las soluciones son: x = 1, x = −1, x = −2 y x = 3/2

SISTEMA DE INECUACIONES EN DOS VARIABLES

SISTEMA DE INECUACIONES EN DOS VARIABLES

Análogamente a la definición de sistema de inecuaciones de una variable, definimos la del sistema de dos variables:

Un sistema de inecuaciones de dos variables es un conjunto de inecuaciones de dos variables que actúan a la vez, es decir, los puntos solución deben cumplir todas las inecuaciones del sistema.

Ejemplo

Un ejemplo de sistema de inecuaciones es:

{y−x+3<1y−x>x−2

Para buscar la solución del sistema, haremos uso principalmente de la definición de sistema de dos variables: buscaremos las soluciones de cada una de las inecuaciones del sistema y a continuación miraremos donde coinciden las regiones soluciones de éstas.

Antes, de buscar dichas regiones, debemos hacer hincapié en el hecho de que en el caso anterior, sistemas de inecuaciones de una variable, era mucho más sencillo intersecar las inecuaciones para encontrar la solución común de todas y por consiguiente la del sistema. En el caso de ahora las soluciones de cada inecuación son regiones en le plano y puede que resulte un poco más complicado encontrar las regiones comunes entre todas las regiones soluciones de cada inecuación del sistema.

Un posible método para encontrar las regiones comunes entre todas las inecuaciones es encontrar primero cada región de cada inecuación y a continuación dibujarse en un mismo plano todas las soluciones juntas, solapándose así las regiones y pudiendo ver fácilmente qué regiones serán solución del sistema.

Volviendo al sistema del ejemplo, vamos a encontrar la solución para mostrar como se debe hacer.

Ejemplo

Primero resolvemos las inecuaciones por separado, obteniendo así las soluciones respectivas:

{y<x−2⇒ la región solución es la que está por debajo de la rectay>2x−2⇒ la región solución es la que está por encima de la recta

A continuación podemos ver estas dos regiones dibujadas en el plano:

Y si superponemos las imágenes, y tomamos la región comun, obtenemos:

Región solución del sistema:

Esta región simplemente se denota como

{y<x−2y>2x−2

que justamente es la solución de cada uno de las inecuaciones.

En resumen, dado un sistema de inecuaciones, para resolverlo sólo hace falta resolver cada una de las inecuaciones por separado y tomar la región común de entre todas las regiones solución de cada inecuación.

A continuación ponemos algunos ejemplos de casos interesantes de sistemas.

Ejemplo

{y−x⩽0x−y⩽0

Resolución:

{y−x⩽0⇒y⩽xx−y⩽0⇒y⩾x

En consecuencia la región común es y=x y decimos que la solución es la recta y=x.

Ejemplo

{2x−y>2−4x+2>1

Resolución:

{2x−y>2⇒y<2x−2−4x+2>1⇒y>2x+1

Observamos que las rectas inducidas por las inecuaciones son paralelas y si nos fijamos podemos ver que la siguiente relación2x−2<2x+1 es cierta ya que −2<1 y entonces se cumple y<2x−2<2x+1<y y nunca encontraremos valores x e y que hagan cumplir las dos inecuaciones a la vez.

En consecuencia, el sistema es imposible de resolver.

ECUACIONES EXPONENCIALES APLICANDO LOGARÍTMICAS

Ecuaciones Exponenciales Aplicando Logarítmicas.

Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica.

Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:

• a0=1para cualquier a.
• Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir:

2a=2b⇔a=b

• Para cualquier a≠0y a≠1 se tiene que:

ax=b⇒x=logab

Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.

Cuando la ecuación exponencial a resolver es del tipo af(x)=b entonces se puede resolver por logaritmación de ambos lados si ambos miembros son positivos. Es decir, simplemente se aplican las propiedades del logaritmo para encontrar cuánto vale f(x).

Ejemplo

2x+1=63×2

Aplicando logaritmos:

log2(2x+1)=logx(63×2)

Ahora mediante las propiedades del logaritmo,

log2(2x+1)=log2(63×2)⇒log2(2)x+1=log2(6)3×2⇒(x+1)log22=3x2log26

⇒(x+1)=3x2log26

Hemos pues convertido la ecuación exponencial en una ecuación de primer grado que sabemos resolver. Esto es, aislando la x obtenemos:

(x+1)=3x2log26⇒x−3⋅log262x=−1⇒x(1−3⋅log262)=−1⇒

x=−22−3⋅log26

Ejemplo

52x−1=73−x⇒2x−1=log5(73−x)=(3−x)log57⇒x=3log57+12+log57

PROPIEDADES EXPONENCIALES

                    Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente   x   en el exponente, es decir, son de la forma:

Las características generales de las funciones exponenciales son:
1) El dominio de una función exponencial es R.
2) Su recorrido es   (0, +∞) .
3) Son funciones continuas.
4) Como   a⁰ = 1 , la función siempre pasa por el punto   (0, 1).
La función corta el eje Y en el punto   (0, 1)   y no corta el eje X.
5) Como   a¹ = a , la función siempre pasa por el punto   (1, a).
6) Si   a > 1   la función es creciente.
Si   0 < a < 1   la función es decreciente.
7) Son siempre concavas.
8) El eje X es una asíntota horizontal.

EJEMPLOS:   f(x) = 2^x          g(x) = 2 ^{– x} = (1/2)^x

1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
Dom(f) = Dom(g) = R .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .
Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .
3) Puntos de corte:
f(0) = 2⁰ = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).
g(0) = – 2⁰ = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).
La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje X.
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1 .
La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1 .
5) Concavidad y convexidad:
Las funciones   f(x)   y   g(x)   son concavas.
6) Asíntotas:
Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje X.

7) Tabla de valores:

Resumen de las propiedades de la función exponencial   e^x

1	La función exponencial es la inversa de la logarítmica: y = ex      ⇔      x = Ln y
2	La función   y = ex  tiene por dominio   R   y por recorrido   y > 0
3	La función    y = ex  es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4	La función   y = ex   es cóncava hacia arriba en todo su dominio.
5

Ejemplo de funciones exponenciales:   f(x) = e^x

1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
Dom(f) = R .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .
Im(f) = (0, + ∞) .
3) Puntos de corte:
f(0) = e⁰ = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).
La función   f(x)  no corta al eje X.
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función   f(x)   es creciente ya que   e > 1 .
5) Concavidad y convexidad:
Las función   f(x)   es concava.
6) Asíntotas:
Las función   f(x)   tiene una asintota en el eje X.

7) Tabla de valores:

MEDIDAS DE ANGULOS

Medida de ángulos

   1. El ángulo recto tiene 90º (grados), el llano tiene dos rectos o 180º y el completo con cuatro rectos tiene 360º. Por tanto el grado es 1/90 del ángulo recto o 1/180 del ángulo llano o 1/360 del ángulo completo.

El ángulo llano tiene…
El ángulo recto tiene…
El ángulo completo tiene…

   2. Transportador de ángulos

   Es un instrumento que sirve para medir ángulos. Suele ser de plástico transparente con un punto fijo 0, en el centro de la base y un arco de 180º. Sirve para medir un ángulo dado y para  dibujar un ángulo de un número de grados especificado.. Se hace coincidir el vértice del ángulo  con el punto 0 del transportador.
Ejemplo: El ángulo XOY del dibujo mide 42º.

   Contesta:

El ángulo de 42º es…
El ángulo de140º es…
El ángulo de 90º es…
El ángulo de 89º es…
El ángulo de 91º es…

   3. Ángulos complementarios
Dos ángulos se llaman complementarios cuando suman un ángulo recto ó 90º. El ángulo 1 y 2 son complementarios porque suman un recto.

   

   4. Ángulos suplementarios
Ángulos suplementarios son dos ángulos que sumen un ángulo llano ó 180º. En el dibujo vemos que la suma de los ángulos 3 y 4 hacen un  ángulo llano de 180 grados. 

  

El ángulo 3 es…
El ángulo 4 es…
La suma 3 + 4 es…

5. angulos opuestos por el vértice
Son aquellos que tienen el mismo vértice y sus lados son semirrectas opuestas. En el dibujo son opuestos los ángulos a y c y también los b y d.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales, es decir a = c  y b = d. También observamos que  a  y b son suplementarios y valen 180º. También son suplementarios los c y b. Como el sumando común es b, tenemos que  a = c.

Los ángulos a y b son…
Los ángulos a y c son…
Los ángulos a y d son…
Los ángulos b y c son…
Los ángulos b y d son…
Los ángulos b y a son…

Este es un tema bonito esperando aprendas fácil

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Si tienes una ecuación de la forma «ax2 + bx + c = 0«, nosotros te la resolvemos. Sólo entra los valores a, b y c debajo y pulsa «Ver resultado»

Es cuadrática

Sólo si se puede poner en la forma ax² + bx + c = 0, y a no es cero.

El nombre viene de «cuad» que significa cuadrado, así que la mejor pista es que la potencia sea un cuadrado (en otras palabras x²).

Todas estas son ecuaciones cuadráticas disfrazadas:

Disfrazada	En forma estándar	a, b y c
x2 = 3x -1	x2 – 3x + 1 = 0	a=1, b=-3, c=1
2(x2 – 2x) = 5	2x2 – 4x – 5 = 0	a=2, b=-4, c=-5
x(x-1) = 3	x2 – x – 3 = 0	a=1, b=-1, c=-3
5 + 1/x – 1/x2 = 0	5x2 + x – 1 = 0	a=5, b=1, c=-1

¿Cómo funciona?

La(s) solucion(es) de una ecuación cuadrática se pueden calcular con la fórmula cuadrática:

El «±» significa que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones!

La parte azul (b² – 4ac) se llama «discriminante», porque sirve para «discriminar» (decidir) entre los tipos posibles de respuesta. Si es positivo, hay DOS soluciones, si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay soluciones imaginarias.

Ejemplo:

9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10

3x²  – 9x                 a = 3, b = -9, c = 0

-6x ² + 10              a = -6, b = 0, c = 10
 
 

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
 

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
 
 

Factorización Simple:

 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = – 8
 

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²]
 

( x +   )   (x  –   ) = 0

 
 

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2

                                                                    4 · -2 = -8
 
 
 
 

x + 4 = 0       x – 2 = 0
 
 
 

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.
 
 

Completando el Cuadrado:

  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4×2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
 
 

4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4

 

x² + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.
 

Ejemplo:

x² + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x² + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]
 

SIMPLIFICACION DE POTENCIAS

  (SIGA PASO A PASO Y VERÁN QUE APRENDERÁN Y SE LE FACILITARA EL APRENDIZAJE)

                                                   Simplificando Expresiones con Exponentes

 

Objetivo de Aprendizaje

• Simplificar expresiones algebraicas con exponentes.

Introducción

Los exponentes pueden ser adjuntados a variables así como a números. Cuando esto sucede, las reglas básicas de los exponentes y las de la notación exponencial se aplican cuando se escriben y simplifican expresiones algebraicas que contienen exponentes.

Reglas Simples de Exponentes

Veamos algunas de las reglas básicas de los exponentes.

Cualquier número o variable elevado a la potencia de uno es simplemente el mismo número. De la misma forma, cualquier número o variable que no muestre un exponente se le puede considerar un exponente de 1. Abajo hay algunos ejemplos:

51 = 5

18 = 181

x1 = x

xy = x1y1

Otra regla de los exponentes es que cualquier número distinto de cero o variable elevado a la potencia de 0 es igual a 1.   = 1 para x ≠ 0.

Ejercicios resueltos
1
Aplicamos la definición de potencia, es decir, multiplicamos la base por sí misma tantas veces como indica el exponente.
2
Puesto el exponente es negativo, primero expresamos la potencia como fracción. Nos queda el exponente en el denominador, así que aplicamos la definición de potencia al denominador.
3
Tenemos la potencia de una potencia. Aplicamos la regla, que consiste en multiplicar ambos exponentes y obtenemos una potencia con exponente negativo. Continuamos del mismo modo que en el ejercicio anterior.
4
Tenemos el cociente de dos potencias. Puesto que la base es la misma, la regla dice que se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador). Se obtiene un exponente negativo.
5
Tenemos un producto de potencias en el numerador, pero no podemos efectuarlo al tener bases distintas (2 y 3). En el denominador tenemos una potencia de base 6 (3·2). Así, escribimos la potencia del denominador como un producto de potencias de bases 3 y 2, usando las reglas. Al escribir el base del denominador como podructo con las mismas bases que en el numerador, podemos aplicar las reglas.
6
Primero podemos deshacernos del signo negativo del exponente de la primera potencia escribiendo la inversa de la fracción. Así, tendremos divisiones de potencias con las mismas bases.
7
Aplicamos las reglas de las potencias a cada una de ellas para simplificar la expresión. Transformamos las bases en otras (aplicando potencias) para tener bases comunes.
8
El mayor problema en esta expresión es el gran número de bases distintas que tienen las potencias. Así que lo que haremos será usar las descomposición de cada base para solucionarlos. Notemos que 10=2·5 y 60=6·10=2·3·2·5. Después, sólo tenemos que multiplicar o dividir potencias.
9
Aplicamos las propiedades de las potencias, primero en los paréntesis que se irán simplificando.
10
Tenemos un exponente alto, pero no debemos preocuparnos por ello. Lo importante de este ejercicio es que la base de la potencia, que es todo el paréntesis, es una resta y no tenemos reglas para desarrollarla. Por tanto, tenemos que trabajar en el interior del paréntesis para poder aplicar las reglas.
11
El único problema de este ejercicio es la potencia de base 18, pero podemos escribir 18 como 18=3·6=3·2·3. Después, aplicamos las reglas.
12
Tenemos muchos exponentes. Aplicamos el la regla al primero, que es la potencia de un producto. Tenemos que identificar claramente los factores del producto para aplicar las reglas sin cometer errores. Luego continuamos con los otros exponentes.
13
Nos deshacemos del primer exponente, que es -1, lo que significa escribir la inversa de la base. También tenemos bases distintas, pero ya sabemos cómo solucionarlo: escribiendo las bases como productos y reagrupando las potencias. Recordemos que el símbolo » : » es una división, que es lo mismo que » / «.
14
El problema de este ejercicio son los parámetros, es decir, las letras. Se trabaja con ellas del mismo modo que con los número (los parámetros representan números).
15
Lo más cómodo es escribir las divisiones «:» en forma de fracciones, «/». Una vez hecho, sólo queda aplicar las reglas.
16
La mayor dificultad es el gran número de parámetros. Aplicamos las reglas de las potencias para poder agrupar las potencias con la misma base alfabética.
17
18
19
20

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas  y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas)

Relaciones trígonométricas fundamentales

sen² α + cos² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

Suma y diferencia de ángulos

Ángulo doble

Ángulo mitad

Transformaciones de sumas en productos

Transformaciones de productos en sumas

Comprobar las identidades:

1

2

3

4

5

6

7

Simplificar las fracciones:

1 

 

2 

 

3 

4

5

6

ECUACIONES CON RADICALES

ECUACIONES CON RADICALES

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones con radicales

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.

3º Se resuelve la ecuación obtenida.

4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

Ejercicios resueltos
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2
3
4
5
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16
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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Buenas tardes amigos les facilito información y ejercicios resulto sobre el tema operaciones con Números Complejos

OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones

SUMA

Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Ejemplo de suma:

(4+2i)+(3+2i)=4+2i+3+2i=4+3+2i+2i=(4+3)+(2+2)i=

el resultado es 7 + 4i

RESTA

Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:

(4−2i)−(3+5i)=(4−3)+(−2i−5i)=(4−3)+(−2−5)i=1−7i:

(6−4i)−(6+5i)=(6−6)+(−4i−5i)=0−9i=−9i

 

POTENCIAS

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de la suma) . Se debe tener en cuenta la igualdad i2=−1:

(6−3i)2=62−2⋅6⋅3i+(3i)2=36−36i−9i2=27−36i.